世间万物的复杂性很多就是从一些简单的规则开始通过系统自发的相互作用产生这就是神奇的自组织自组织现在被发现出现在自然科学乃至社会科学的诸多领域本文主要介绍数学上最早的概念模型阿贝尔沙堆模型

撰文JordanEllenberg

威斯康星大学麦迪逊分校数学教授

编译许钊箐

你听说过多米诺骨牌理论

Dominotheory

吗这是冷战时期美国为遏制共产主义提出的地缘政治理论指社会主义国家会辐射影响周边国家进行社会主义变革此理论极大地影响了美国二十世纪中期的外交政策被用来为其霸权主义行为正名但抛开政治理论在自然界确实也有类似的多米诺骨牌行为从物理学的角度上讲它应该被称为沙堆理论

sandpiletheory

现实世界的政权转变往往不是有条不紊的发生而是在突然间的协调配合下发生的比如阿拉伯之春以及东欧剧变

最终苏联解体

这些历史事件中平静的时期里暗藏危机然后在某一刻陡然倒塌就像沙堆一样假如你在一个沙堆上顶部再放一些沙砾沙堆可能在短时间内没有明显变化但是顷刻间类似于一场雪崩顶部的沙砾会以不规则的方式突然冲下并且在过程中很可能引发小的次级流沙

这个比喻不一定会给我们带来什么毕竟真实的沙子很难去分析就像现实世界的政治一样但奇迹也在这里物理学家巴克

PerBak

汤超

ChaoTang

和维森菲尔德

KurtWiesenfeld

在1987年提出了一种由沙堆的抽象而来的阿贝尔沙堆模型

Abeliansandpilemodel

这种模型在保持足够简单以便于应用数学来研究的同时似乎又可以刻画真实沙堆的一些有趣但无序的特点并且适用于其他一些源自生物学物理学以及社会科学的复杂系统

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阿贝尓沙堆模型

它的过程是这样的我们可以想象一个无穷网格在每一个网格上都有一小堆沙子并在每一个格子内用数字表示沙砾的数目

但在垂直方向沙堆的高度是有一定限制的所以这里假设每当网格中沙砾数目到达四则四粒沙砾会向周边四个格子流散所以如果初始是两个网格中有四粒沙砾

则沙堆流散之后左侧的网格变成了

此时右侧网格已经超过四粒的沙堆那么它会继续朝周边的四个网格各流散一粒沙砾

现在因为所有位置的沙砾数目都不超过四每个网格点都处在稳定的状态所以沙堆流散的过程就停止了

以上的分析过程中我们先进行的是原本两个网格中左侧的流散其次是右侧的我们如何知道哪个网格应该先向四周流散呢好消息是选择的顺序并不重要因为我们可以由稳定状态网格的对称性得出这种阿贝尔沙堆的最终状态并不取决于我们选择模拟流沙网格的顺序这也是其取名为阿贝尔的原因意味着我们选择的先后顺序不影响最后的结果

译者注数学命名中的阿贝尔通常是为了纪念挪威数学家尼尔斯阿贝尔NielsHenrikAbel18021829他开启了许多领域的研究并以证明五次方程的根式通解不存在以及椭圆函数的研究闻名尽管他数学成就极高但其生活遇到了很多困难最后因肺结核不满27岁逝世

比如说加法这种运算是阿贝尔的我们指加法中元素是可以交换的先加2再加3等价于先加3再加2但是大多数的运算或操作都不是阿贝尔的比如说先解锁汽车再拉开车门那么车门就打开了但是先拉车门再解锁汽车得到结果完全不同车门还是关闭的所以沙堆的阿贝尔性质可以算是一个惊喜

那么你可能会问如果我们在一个网格上放很多很多沙砾比如说一百万粒会发生什么当沙砾向四周不断流散最后稳定下来时会是什么样子你可能会想象最后会是一个巨大平整的沙堆其中接近中心的一个很大的区域会有很多包含三个沙砾的网格

但并不是这样下面这幅图展现了最终稳定后的网格情况

百万沙粒中心点上堆积大约大量的沙砾准确地说是2的20次方来模拟一个阿贝尔沙堆颜色表示堆高蓝色表示没有沙子紫色表示一粒黄色表示两粒褐红色表示三粒丨图片来源WesPegden

好吧会不会是一百万不足以使得沙堆数量是光滑变化的如果我们用十亿粒沙砾呢会得到一个平坦的大的沙堆吗最终的图像是这样的

十亿粒沙砾模拟图丨图片来源WesPegden

我们期待的平坦情况没有出现相反那些奇异的分形图样持续存在在接近中心的地方复杂的图案就像是一个圆顶其内部还镶嵌着很多格子看起来是某种几何图案但又像是随机的在沙堆的边界则是众多一致的三角形以规则的模式紧密连接

这些图片是由卡内基梅隆大学的数学教授WesPegden及合作者康奈尔大学的LionelLevine和CharlieSmart在沙堆的前沿研究中绘制的

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在Pegden教授的网站上甚至可以看到十亿粒沙堆的交互式的图片我们可以将其放大或者移动到任何位置再放大比如直接观察沙堆的中心

十亿粒沙堆的中心图像丨图片来源WesPegden

或者看到外缘尖锐怪异的细节

十亿粒沙堆的边缘图像丨图片来源WesPegden

如果仔细观察你还可以观察到更精细的局部结构像很多数学文章一样我们在这里给感兴趣的读者一个家庭作业沙堆稳定之后请说明两个邻近网格为什么不可能同时为空

有答案

事实上一些实验表明我们可能有更强的结论空的网格不仅不会相邻它们甚至倾向于不接近彼此就像带相同电荷的粒子它们会相互排斥

复杂中所蕴含的简单规律

在你真的去拿显微镜观察沙堆之前我不得不提醒你真正的沙堆是不会产生这种自发性的结构的

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这里的阿贝尔沙堆模型甚至不具有模拟真实物理材料的性质相反我们看到的所有复杂性都来自于一个抽象简单的确定性算法甚至只用五行代码就可以写下这不禁让人想到约翰康威

JohnConway

的生命游戏

ConwaysGameofLife这个游戏也是从非常简单的规则中产生了丰富的复杂性就像生命游戏一样阿贝尔沙堆也是一个元胞自动机

cellularautomaton

它是一个微型的宇宙其中的运行规律可以被计算机可接受的离散语言全然描述在沙堆中每个网格都具有从0到4中的一个数字通过一个简单的规则决定相邻网格的值而在生命游戏中网格的状态更为简单每个状态非生

值为1

即死

值为0

但是两者还是有区别的生命游戏作为一种典型的元胞自动机复杂的行为可以出现但更倾向于简单的模式

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但是对于沙堆模型我们似乎不需要特别设置初始条件它就会自动趋向复杂的模式

实际上沙堆中复杂行为的出现取决于一个所谓的临界阈值在这个值附近往往会出现复杂的行为我们对于自然界中的临界阈值这一概念是很熟悉的水在较高温度下是一种无序的液体但是当温度下降到达某个临界值水就会发生巨大的转变结晶成冰而对于沙堆来说它的密度就类似于水的温度

这里的密度是指平均每个网格中有多少的沙砾

如果有太多的沙砾沙堆就会不稳定雪崩随之发生如果沙砾太少沙堆则会很快稳定下来那么多少算是我们说的太多呢事实上这个答案出乎意料的简单巨大变化和微小变化的分界线是平均每个网格里2125粒沙砾

值得注意的是在网格有限并假设当沙砾到达边缘格子时再流散就会消失的情况下平均每个网格的沙砾数会是2125在一开始所有的网格都是空的我们一粒一粒地将沙砾放至中心的那个网格一段时间后沙堆开始向四周流散会慢慢形成类似于我们之前展示过的Pegden教授生成的图像

这个图像是假设网格在所有方向都有无限多个

我们扔下一粒沙待沙堆稳定后就再扔下一粒这样沙砾会越来越多但如果沙砾到达边缘流散出去的沙砾就消失了此后沙堆会接近一个平衡沙砾在边界掉落的速率等于我们增加沙砾的速率密度会在某个临界值稳定下来当然系统会有局部波动随着时间推移密度低的地方和密度高的地方会有一定的交替变化但对于整体平均每个网格沙砾数会在2125粒左右

如果一开始我们尽可能地将每个网格布满沙砾即每个网格放置3粒那会发生什么呢这种初始布局是稳定的但它是很脆弱的稳定我们在任意一个网格放置一粒沙砾之后一场巨大的雪崩就开始了直到密度下降到2125它才会停止

那么当沙砾密度到达临界值时会发生什么这时的沙堆会处在最有趣的状态向四周流散的过程一直在发生但却不是持续的大范围混乱状态相反流散会出现类似于海浪一波接一波不时也会发生罕见的横跨所有网格的雪崩灾难而流散活动在阈值密度下的分布似乎遵从幂律流散活动的频率和它的规模成反比其中也有持续的流散活动但它们是有某种结构和规律的不仅如此为了展示其复杂的行为沙堆不需要做精细的调整它自己具备调整的能力不论系统从哪里开始只要新的沙砾以常数速率增加系统都会通向临界阈值状态

眼见为实美国国家标准技术研究所

NIST

的RMDimeo就制作了一个系列沙堆处于临界状态的无聊电影

沙堆中加入一粒沙子后的变化颜色代表该处流散的次数每次流散都会更热视频来源RMDimeo请前往返朴公众号观看视频

对我来说这个过程看起来就像是有生命力的而不是一个巧合思考丰富的生命结构是如何从简单系统中涌现出来的它们会自动寻找临界阈值使用自组织临界性的概念是一种流行的方式一些生物学家认为自组织临界性是复杂生物行为的潜在统一理论这一理论支配着一群鸟儿同步飞行的模式就像遗传信息支配鸟儿个体的发展一样

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理论生物学家斯图亚特考夫曼StuartKauffman

写道生命系统存在于临近混乱边缘的一个稳固的状态是自然选择实现并维持了这种平衡状态就像是我们讨论的沙堆它当然不是一个生命但它却生机勃勃不是吗

沙堆是第一个也是被研究的最多的自组织临界性的例子此外还有很多其他的例子

在Pegden教授的网站上还有一些

但是我们并不知道沙堆的散落规则到底是什么为什么它使得系统不可避免地朝着复杂的临界状态发展也不清楚哪些元胞自动机可能表现出这种自组织临界性

一些深刻的理解可能会从沙堆理论和其他数学理论的惊人联系中产生对于我这样的几何学家来说沙堆理论与最近新兴的热带几何学理论

tropicalgeometry

有关该领域的目标是用类似的离散几何现象来模拟连续的几何现象

译者注热带几何学理论是首先由巴西数学家及计算机科学家伊姆雷西蒙ImreSimon于1980年代发展热带一词源于部分法国数学家对于巴西的刻板印象热带几何可以看成是分片线性化的代数几何在计数代数几何中有重要的应用

对于概率学家来说沙堆与所谓的生成树密切相关生成树

在方形网格上

是一个分支路径它接触网格上的每个点但不会形成闭合的回路无论这些理解是来自于哪里沙堆理论提醒我们数学中非常有趣的现象就像物理学很多有趣的现象经常出现在相变之中就是在这里我们处于两个不同的数学理论之间既拥有它们的特征又可以跨越边界传递信息和问题当然通常来说问题总是比答案多

参考资料

1BakPTangCWiesenfeldKSelforganizedcriticalityAnexplanationofthe1fnoisePhysicalReviewLetters593813841987

2

LevineLPegdenWSmartCKApollonianstructureintheAbeliansandpilepreprintarXiv120848392014

3

MehtaABarkerGCDisordermemoryandavalanchesinsandpilesEurophysicsLetters275015061994

4

AronJFirstreplicatingcreaturespawnedinlifesimulatorNewScientist2765672010

5

MoraTBialekWArebiologicalsystemsatcriticalityJournalofStatisticalPhysics1442683022011

本文译自NautilusDominoes2015年4月刊